Sunday, April 08, 2007

ഗണിതശാസ്‌ത്രത്തിലെ 'എവറസ്റ്റ്‌' കീഴടങ്ങി

ഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും സങ്കീര്‍ണമായ പ്രശ്‌നങ്ങളിലൊന്നിനെ ഒരു അന്താരാഷ്ട്രസംഘം കീഴടക്കിയിരിക്കുകയാണ്‌. പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ സൂക്ഷ്‌മസങ്കീര്‍ണതകളുടെ അര്‍ത്ഥതലങ്ങള്‍ കുടികൊള്ളുന്നതെന്നു കരുതുന്ന E8-നെ 19 ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞര്‍ നാലവര്‍ഷം കൊണ്ടാണ്‌ നിര്‍ധാരണം ചെയ്‌തത്‌
ര്‍വതാരോഹകര്‍ക്ക്‌ എവറസ്‌റ്റ്‌ കൊടുമുടി എങ്ങനെയാണോ, അങ്ങനെയാണ്‌ ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞര്‍ക്കു E8. അറിയപ്പെടുന്നതില്‍ ഏറ്റവും സങ്കീര്‍ണമായ രൂപഘടനയാണിത്‌. കഴിഞ്ഞ നൂറ്റിയിരുപതു വര്‍ഷമായി ലോകമെമ്പാടുമുള്ള ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞരെ പ്രലോഭിപ്പിക്കുകയും അതേസമയം അമ്പരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്‌ത ഈ ഗണിതപ്രശ്‌നം ഒടുവില്‍ കീഴടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞര്‍ അവരുടെ 'എവറസ്‌റ്റ്‌' കീഴടക്കിയിരിക്കുകയാണ്‌. ഒരുപക്ഷേ, 2007-ലെ ഏറ്റവും വലിയ ശാസ്‌ത്രനേട്ടമായിരിക്കുമിത്‌. ഹ്യുമണ്‍ ജിനോം പ്രോജക്ടിന്റെ വിജയത്തിന്‌ ശേഷം ഒരു അന്താരാഷ്ട്രശാസ്‌ത്രസംഘം കൈവരിക്കുന്ന മറ്റൊരു നിര്‍ണായക മുന്നേറ്റം. പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനഘടനയെന്തെന്നു കണ്ടെത്താനുള്ള ശ്രമങ്ങളില്‍ പുതിയൊരു നാഴികക്കല്ലായി ഇത്‌ വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു.

E8 എന്താണെന്നു വിശദീകരിക്കാന്‍ സാധാരണഗതിയില്‍ ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞര്‍ക്കു പോലും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്‌. 248 വിധത്തില്‍ ചുറ്റിച്ചാലും കാഴ്‌ചയില്‍ അല്‍പ്പം പോലും വ്യത്യാസം തോന്നത്ത തരത്തിലുള്ള, 57 മാനങ്ങളുള്ള (മാനം=dimension) ഒരു ജ്യാമിതീയരൂപത്തിന്റെ സമതുലനാവസ്ഥകളെയാണ്‌ (symmetries) E8 എന്നു പറയാം. പ്രകൃതിയുടെ അടിസ്ഥാനതത്വമാണ്‌ സമതുലനാവസ്ഥ. ഒരു ഗോളത്തിന്റെ കാര്യമെടുക്കുക. അത്‌ ഏത്‌ വശത്തേക്കു ചുറ്റിച്ചാലും എത്ര അകലെനിന്നു നോക്കിയാലും രൂപത്തിന്‌ മാറ്റമുള്ളതായി തോന്നില്ല. നീളം, വീതി, പൊക്കം എന്നിങ്ങനെ മുന്നു മാനങ്ങളേ ഗോളത്തിനുള്ളൂ. അതിനാല്‍ അതൊരു ത്രിമാനരൂപമാണ്‌. ഒരു മാനം കൂടിയേ നമുക്ക്‌ പരിചയമുള്ളൂ. അത്‌ സമയമാണ്‌ (time). എന്നാല്‍, 57 മാനങ്ങളുള്ള ഒരു രൂപഘടന എങ്ങനെയിരിക്കും...സങ്കല്‍പ്പിക്കാന്‍ കഴിയാത്തത്ര സങ്കീര്‍ണമായിരിക്കുമത്‌. അതാണ്‌ E8.

മാരിയസ്‌ സോഫസ്‌ ലീ
ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ (അത്‌ ത്രിമാന രൂപമാകട്ടെ അതില്‍ കൂടുതല്‍ മാനങ്ങളുള്ളവയാകട്ടെ) സമതുലനാവസ്ഥകള്‍ വിശദീകരിക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗണിതസമീകരണങ്ങളാണ്‌ 'ലീ ഗ്രൂപ്പുകള്‍'(Lie groups). ജ്യാമിതീയ സമതുലനാവസ്ഥകള്‍ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന 'ടോപ്പോളജി'(topology)യെന്ന ഗണിതശാസ്‌ത്രശാഖയുടെ വളര്‍ച്ചയ്‌ക്ക്‌ അടിത്തറ പാകിയത്‌ 'ലീ ഗ്രൂപ്പുകളു'ടെ കണ്ടെത്തലാണ്‌. നോര്‍വീജിയന്‍ ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞനായ മാരിയസ്‌ സോഫസ്‌ ലീ ആയിരുന്നു ആ കണ്ടെത്തലിന്‌ പിന്നില്‍. 1842-ലാണ്‌ ലീ ജനിച്ചത്‌. ജര്‍മന്‍ ചാരനായി അറസ്റ്റുചെയ്യപ്പെടുകയും, ഭ്രാന്തിന്‌ ചികിത്സതേടുകയും ചെയ്‌തിട്ടുള്ള ലീ 1873-ലാണ്‌ 'ലീ ഗ്രൂപ്പുകള്‍' കണ്ടെത്തുന്നത്‌. പിന്നീട്‌ ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞര്‍ നടത്തിയ അന്വേഷണങ്ങളില്‍, നാല്‌ ക്ലാസുകളിലുള്ള ലീ ഗ്രൂപ്പുകളില്‍ അഞ്ച്‌ വേര്‍തിരിവുകള്‍ ഉള്ളതായി കണ്ടു. ആ വേര്‍തിരിവുകളില്‍ ഏറ്റവും സങ്കീര്‍ണമായതാണ്‌ 'എക്‌സെപ്‌ഷണല്‍ സിംപിള്‍ ലീ ഗ്രൂപ്പ്‌സ്‌'(''exceptional simple Lie groups''). 1887-ല്‍ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട ആ ലീ ഗ്രൂപ്പാണ്‌ E8.

E8-നെ നിര്‍ധാരണം ചെയ്യുക മനുഷ്യസാധ്യമല്ലെന്നാണ്‌ ഇക്കാലമത്രയും കരുതിയിരുന്നത്‌. എന്നാല്‍, അമേരിക്കയിലും യൂറോപ്പിലുമുള്ള 19 പ്രമുഖ ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞര്‍ നാലുവര്‍ഷം കഠിനാധ്വാനം ചെയ്‌തപ്പോള്‍ അസാധ്യമെന്നു കരുതിയത്‌ സാധ്യമായി. E8 പിടിയിലൊതുങ്ങി. പുതിയ കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാമുകളും പുതിയ ഗണിതസങ്കേതങ്ങളും പക്ഷേ, അതിനായി അവര്‍ക്ക്‌ ആവിഷ്‌ക്കരിക്കേണ്ടി വന്നു. ഹ്യുമണ്‍ ജിനോം പദ്ധതി വഴി 320 കോടി രാസബന്ധങ്ങളുള്ള മനുഷ്യ ഡി.എന്‍.എ യെ അപകോഡീകരിച്ചപ്പോള്‍ കിട്ടിയതിലും കൂടുതല്‍ ഡേറ്റ, E8 ന്റെ നിര്‍ധാരണ വേളയിലുണ്ടായി.

60 ഗിഗാബൈറ്റ്‌സ്‌(GB) സ്ഥലത്തേ ഈ രൂപഘടനയുടെ ഗണിതരൂപം ഉള്‍ക്കൊള്ളിക്കാനാവൂ (മാനവജിനോമിലെ മുഴുവന്‍ വിവരങ്ങളും ഒരു ഗിഗാബൈറ്റ്‌സില്‍ കുറവേ വരൂ എന്നറിയുക). 'സേജ്‌'(Sage) സൂപ്പര്‍കമ്പ്യൂട്ടറില്‍ 77 മണിക്കൂര്‍ നേരത്തെ കണക്കൂട്ടല്‍ വേണ്ടിവന്നു E8-നെ മെരുക്കാന്‍. ഒടുവില്‍, 2007 ജനവരി എട്ടിന്‌ സേജില്‍ നിന്ന്‌ ഉത്തരം കിട്ടി. 'അമേരിക്കന്‍ ഇന്‍സ്റ്റിട്ട്യൂട്ട്‌ ഓഫ്‌ മാത്തമാറ്റിക്‌സി'ന്റെ മേല്‍നോട്ടത്തിലാണ്‌ E8-നെ നിര്‍ധാരണം ചെയ്യുന്ന പ്രവര്‍ത്തനം നടന്നത്‌. 'അത്‌ലസ്‌ ഓഫ്‌ ലീ ഗ്രൂപ്പ്‌സ്‌ ആന്‍ഡ്‌ റെപ്രസന്റേഷന്‍സ്‌' എന്നറിയപ്പെടുന്ന ബൃഹദ്‌പദ്ധതിയുടെ ഭാഗമായിരുന്നു E8-ന്റെ നിര്‍ധാരണം.

E8-നെ അതിന്റെ എല്ലാ സാധ്യതകളും മനസിലാക്കാന്‍ 20000 കോടിയിലേറെ സംഖ്യകളുപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ നടത്തേണ്ടതുണ്ടായിരുന്നു. അതാണ്‌, മേരിലാന്‍ഡ്‌ സര്‍വകലാശാലയിലെ ഗണിതശാസ്‌ത്ര പ്രൊഫസര്‍ ജെഫ്രി ഡി. ആദംസിന്റെ നേതൃത്വത്തിലുള്ള സംഘം ചെയ്‌തത്‌. ഗണിതത്തില്‍ 'പ്രതിപാദനങ്ങള്‍'(representations) എന്നറിയപ്പെടുന്ന സമതുലനാവസ്ഥാഗ്രൂപ്പ്‌ (symmetry group) ആയാണ്‌ E8 പ്രകടമാക്കപ്പെടുന്നത്‌. E8 -ന്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രതിപാദനങ്ങളെയും വിശദമാക്കുകയെന്നതായിരുന്നു E8 നിര്‍ധാരണത്തിന്റെ കാതല്‍.

E8-നെ മെരുക്കിയ സംഘം.

E8-ന്റെ ഭാഗമായ പ്രതിപാദനങ്ങളോരോന്നും അത്യധികം സങ്കീര്‍ണമായവയാണ്‌ (പോളിനോമിയലുകളായാണ്‌ ഈ പ്രതിപാദനങ്ങളെ എഴുതുക. രണ്ടില്‍ കൂടുതല്‍ ബീജഗണിതപദങ്ങളുള്ള ഗണിതവാചകമാണ്‌ പോളിനോമില്‍). ഈ പ്രതിപാദനങ്ങളെ അടിസ്ഥാന നിര്‍മാണശിലകള്‍ (basic building blocks) ആയി ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞര്‍ പരിഗണിക്കുന്നു. E8-ന്റെ നിര്‍ധാരണം കൊണ്ട്‌ ഗവേഷകര്‍ ചെയ്‌തത,്‌ ആ രൂപഘടനയിലെ ഇത്തരം അടിസ്ഥാനശിലകളുടെ പട്ടിക മുഴുവന്‍ തയ്യാറാക്കുകയും അവ തമ്മിലുള്ള പരസ്‌പരബന്ധം വിവരിക്കുകയുമാണ്‌. ആ പട്ടികയിലെ മൊത്തം അംഗസംഖ്യയെത്രയെന്നോ? 205,263,363,600(20526 കോടി).

E8-ന്റെ നിര്‍ധാരണഫലം മുഴുവന്‍ 'ചതുരഗണ'(matrix or grid) മായി വിന്യസിക്കുകയാണ്‌ ഗവേഷകര്‍ ചെയ്‌തത്‌. ആ ചതുരഗണത്തിന്റെ വലിപ്പം 453,060 ആണ്‌. എന്നുവെച്ചാല്‍ 453,060 വരിയും അത്ര തന്നെ നിരയും! ചതുരഗണത്തിലെ ഓരോ അംഗത്തെയും ഒരു ചതുരശ്ര ഇഞ്ച്‌ സ്ഥലത്ത്‌ എഴുതിയാല്‍, ആ ചതുരഗണത്തിന്റെ ഓരോ വശത്തിനും 11.2 കിലോമീറ്റര്‍ നീളമുണ്ടാകും. ചതുരഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളായ വ്യത്യസ്‌ത പോളിനോമിയലുകളുടെ സംഖ്യ 1,181,642,979 വരും. വ്യത്യസ്‌ത പോളിനോമിയലുകളിലെ ഗുണാങ്ക (coefficient)ങ്ങളുടെ എണ്ണം 13,721,641,221 ആണ്‌. 11,808,808 ആണ്‌ ഏറ്റവും വലിയ ഗുണാങ്കം. E8-നെ നിര്‍ധാരണം ചെയ്‌തപ്പോള്‍ ലഭിച്ച പ്രതിപാദനങ്ങളില്‍ ഏറ്റവും വലുതിനെ കുറിക്കുന്ന പോളിനോമിയല്‍

''നിങ്ങള്‍ക്ക്‌ E8-ന്റെ അര്‍ത്ഥം സങ്കല്‍പ്പിക്കാന്‍ പോലുമാകില്ല''-അമേരിക്കന്‍ ഇന്‍സ്‌റ്റിട്ട്യൂട്ട്‌ ഓഫ്‌ മാത്തമാറ്റിക്‌സിന്റെ എക്‌സിക്യുട്ടീവ്‌ ഡയറക്ടറായ ബ്രിയാന്‍ കോന്‍റേയ്‌ പറയുന്നു. ''ഒരു ജീവിയെ സംബന്ധിച്ച്‌ ഒട്ടേറെക്കാര്യങ്ങള്‍ അതിന്റെ ഡി.എന്‍.എ.യില്‍ നിന്ന്‌ പഠിക്കാന്‍ കഴിയും. എന്നാല്‍, അതിനെ പൂര്‍ണമായും മനസിലാക്കണമെങ്കില്‍ ഡി.എന്‍.എ. മാത്രം പോര, ജീവിയെ വളര്‍ത്തി നോക്കിയാലേ കഴിയൂ. ഒരര്‍ത്ഥത്തില്‍ E8 സംഘം ചെയ്‌തത്‌ അത്തരമൊരു പ്രവര്‍ത്തനമാണ്‌''-ഡ്യൂക്ക്‌ സര്‍വകലാശാലയിലെ ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞന്‍ റോബര്‍ട്ട്‌ എല്‍. ബ്രിയാന്റ്‌ പറയുന്നു. ''E8-ന്റെ യഥാര്‍ത്ഥ ആകര്‍ഷണീയ എന്തെന്നു വെച്ചാല്‍, സമതുലനാവസ്ഥയ്‌ക്ക്‌ എത്രത്തോളം സങ്കീര്‍ണമാകാമോ അതാണ്‌ E8 എന്നതാണ്‌''-പദ്ധതിയില്‍ അംഗമായിരുന്ന മസാച്യൂസെറ്റ്‌സ്‌ ഇന്‍സ്റ്റിട്ട്യൂട്ട്‌ ഓഫ്‌ ടെക്‌നോളജി(എം.ഐ.ടി)യിലെ ഗണിത ശാസ്‌ത്രജ്ഞനായ ഡേവിഡ്‌ വോഗന്‍ അറിയിക്കുന്നു. വോഗനാണ്‌ E8-നെ നിര്‍ധാരണം ചെയ്‌ത കാര്യം മാര്‍ച്ച്‌ 19-ന്‌ ലോകത്തെ അറിയിച്ചത്‌.

ലീ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ നിര്‍ധാരണത്തിനു വേണ്ടി ഒരു സംഘം ഗണിതശാസ്‌ത്രജ്ഞര്‍ ആല്‍ഗരിതങ്ങളും സോഫ്‌ട്‌വേറുകളും രൂപപ്പെടുത്താനാരംഭിക്കുന്നത്‌ 2002-ലാണ്‌. ഫൊക്കോ ഡു ക്ലൗക്‌സ്‌ എന്ന ഗവേഷകന്‍ ഇതിനാവശ്യമായ സോഫ്‌ട്‌വേര്‍ രചിക്കുകയെന്ന ശ്രമകരമായ ദൗത്യം ഏറ്റെടുത്തു. 2005-ഓടെ സോഫ്‌ട്‌വേര്‍ ഏതാണ്ട്‌ തയ്യാറായി. E8-ന്റെ ഭാഗമായ പോളിനോമിയലുകള്‍ മുഴുവന്‍ കമ്പ്യൂട്ടറില്‍ ലോഡ്‌ ചെയ്യുകയായിരുന്നു അടുത്ത പടി. പക്ഷേ, E8-ന്റെ അസാധാരണ വലിപ്പം സാധാരണ കമ്പ്യൂട്ടറുകള്‍ക്ക്‌ താങ്ങാന്‍ കഴിയുന്നതിനും അപ്പുറത്താണ്‌. ലോഡ്‌ ചെയ്‌ത ഡേറ്റ മുഴുവന്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ട്‌ പ്രോഗ്രാം പ്രവര്‍ത്തിക്കണമെങ്കില്‍ കുറഞ്ഞത്‌ 200 ഗിഗാബൈറ്റ്‌സ്‌ മെമ്മറി(RAM) ആവശ്യമാണെന്നു വന്നു. അതിനാല്‍, 2006-ലെ വേനല്‍ക്കാലത്ത്‌ ഡു ക്ലൗക്‌സ്‌, ഡേവിഡ്‌ വോഗന്‍, മാര്‍ക്‌ വാന്‍ ലീയുവെന്‍ എന്നിവര്‍ ചേര്‍ന്ന്‌ ചെറിയ കമ്പ്യൂട്ടറില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കാന്‍ പാകത്തില്‍ പ്രോഗ്രം പുനക്രമീകരിച്ചു. വാഷിങ്‌ടണ്‍ സര്‍വകലാശാല 'സേജ്‌' സൂപ്പര്‍കമ്പ്യൂട്ടര്‍ E8 നിര്‍ധാരണത്തിനായി വിട്ടുകിട്ടി. 'സേജി'ന്‌ 64 ഗിഗാബൈറ്റ്‌സ്‌ റാമും 16 പ്രോസസറുകളുമുണ്ട്‌. കമ്പ്യൂട്ടറില്‍ 77 മണിക്കൂറെടുത്തു E8 എന്ന അഗാധസങ്കീര്‍ണതയുടെ ഉത്തരം ലഭിക്കാന്‍.



ഗണിതശാസ്‌ത്രത്തില്‍ മാത്രമല്ല, പ്രപഞ്ചപഠനശാഖ (cosmology)യിലും രസതന്ത്രം പോലുള്ള ഇതര ശാസ്‌ത്രമേഖലകളിലും വന്‍സ്വാധീനം ചെലുത്താന്‍ പോകുന്ന മുന്നേറ്റമാണ്‌ E8-ന്റെ നിര്‍ധാരണം. ഭൗതീകശാസ്‌ത്രത്തില്‍ സൂക്ഷ്‌മപ്രപഞ്ചത്തെ വിവരിക്കുന്ന ക്വാണ്ടംമെക്കാനിക്‌സും, സ്ഥൂലപ്രപഞ്ചത്തെ നിര്‍ണയിക്കുന്ന പൊതുആപേക്ഷികതാസിദ്ധാന്തവും കൂട്ടിയിണക്കി ഒരു ഏകീകൃതസിദ്ധാന്തം (unified theory) രൂപപ്പെടുത്താനുള്ള ശ്രമങ്ങള്‍ വിജയിക്കാന്‍ E8-ന്റെ നിര്‍ധാരണം സഹായിക്കുമെന്നാണ്‌ പ്രതീക്ഷ. പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനഘടന നിര്‍ണയിക്കാന്‍ സഹായിക്കുമെന്നു പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന 'സ്‌ട്രിങ്‌തിയറി' (String Theory)യുടെ യഥാര്‍ത്ഥ അര്‍ത്ഥങ്ങള്‍ കുടികൊള്ളുന്നത്‌ E8-ന്റെ നിര്‍ധാരണഫലങ്ങള്‍ക്കുള്ളിലാണെന്ന്‌ പലരും വിശ്വസിക്കുന്നു. അറിവിന്റെ നവചക്രവാളങ്ങള്‍ വികസിക്കാനുള്ള ഒരു വന്‍മുന്നേറ്റമാണ്‌ സംഭവിച്ചിരിക്കുന്നതെന്നു ചുരുക്കം. E8 ന്റെ നാനാര്‍ത്ഥങ്ങള്‍ മനസിലാക്കാനിരിക്കുന്നതേയുള്ളു (കടപ്പാട്‌: അമേരിക്കന്‍ ഇന്‍സ്റ്റിട്ട്യൂട്ട്‌ ഓഫ്‌ മാത്തമാറ്റിക്‌സ്‌, ദി കേംബ്രിഡ്‌ജ്‌ ഡിക്ഷ്‌ണറി ഓഫ്‌ സയന്റിസ്റ്റ്‌സ്‌). (2007 ഏപ്രില്‍ എട്ടിലെ 'മാതൃഭൂമി വാരാന്തപ്പതിപ്പി'ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്‌)

4 comments:

JA said...

ഗണിതശാസ്‌ത്രത്രത്തിലെ ഏറ്റവും സങ്കീര്‍ണമെന്നു കരുതുന്ന രൂപഘടനകളിലൊന്നിനെ നിര്‍ധാരണം ചെയ്യുന്നതില്‍ മനുഷ്യന്‍ വിജയിച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന രഹസ്യങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നതെന്നു കരുതുന്ന E8-നെ ഒരു സംഘം അന്താരാഷ്ട്ര ഗവേഷകര്‍ നാലുവര്‍ഷം കൊണ്ടാണ്‌ മെരുക്കിയെടുത്തത്‌. അതെപ്പറ്റി.

പയ്യന്‍‌ said...

പ്രിയപ്പെട്ട ജോസഫ് ആന്റണി,

ഇന്നലെ മാതൃഭൂമിയില്‍ വായിച്ചിരുന്നു.
കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ E8 നെക്കുറിച്ച് പറഞ്ഞു തരൂ

Maths Blog Team said...

Very Good!
Maths Blog Team

Captain Haddock said...

തല കറങി പൊയി.....Thanks a TON!